Презентация на тему «Дисперсия в статистике»

Слайд 1. Дисперсия в статистике

• Мера разброса данных: от формулы и поправки Бесселя до дисперсионного анализа

Доклад: Тема нашей презентации — дисперсия в статистике. Это показатель, который отвечает на вопрос, насколько сильно значения признака расходятся между собой. Мы разберём, как дисперсия считается для генеральной совокупности и для выборки, почему в выборочной формуле стоит n минус один, и как из дисперсии вырастает целый раздел статистики — дисперсионный анализ.

Слайд 2. Содержание

• Введение
• Дисперсия: ключевые понятия
• Дисперсия генеральной совокупности
• Выборочная дисперсия и степени свободы
• Генеральная и выборочная дисперсия
• Почему делят на n − 1
• Числовой пример: пять измерений
• Вычислительная формула дисперсии
• От дисперсии к среднему квадратическому отклонению
• Свойства дисперсии
• Дисперсия альтернативного признака
• Три вида дисперсии при группировке
• Правило сложения дисперсий
• Эмпирический коэффициент детерминации
• Дисперсия в дисперсионном анализе
• Дисперсия выборочной средней
• Дисперсия и форма нормального распределения
• Наглядная модель разброса: доска Гальтона
• Учёные, стоявшие у истоков понятия
• Выводы
• Список литературы

Доклад: Работа построена так: сначала вводим понятие и обе базовые формулы, затем на числовом примере проходим весь расчёт руками. Дальше рассматриваем свойства дисперсии, её частные случаи и правило сложения. Завершают презентацию применение дисперсии в дисперсионном анализе, связь с формой нормального распределения и учёные, создавшие этот аппарат.

Слайд 3. Введение

• Средняя арифметическая показывает типичный уровень признака, но ничего не говорит о том, насколько сильно значения расходятся между собой.
• Дисперсия — главная мера этого расхождения: на ней построены оценка точности выборки, проверка гипотез и дисперсионный анализ.
• Без дисперсии невозможно рассчитать ошибку выборки, доверительный интервал и большинство статистических критериев.
• Понятие нужно каждому, кто обрабатывает данные опроса, эксперимента или производственных измерений.

Доклад: Средняя арифметическая описывает типичный уровень признака, но сама по себе она обманчива: две группы с одинаковой средней могут быть устроены совершенно по-разному. Именно дисперсия показывает, насколько данные однородны и можно ли вообще доверять средней. Без неё невозможно построить доверительный интервал, оценить ошибку выборки и применить статистические критерии.

Слайд 4. Дисперсия: ключевые понятия

• Варианта — отдельное значение признака у единицы совокупности, обозначается xᵢ.
• Средняя арифметическая — центр распределения, относительно которого измеряют разброс.
• Отклонение — разность между вариантой и средней; сумма всех отклонений всегда равна нулю.
• Дисперсия — средний квадрат отклонений от средней, обозначается σ² или s².
• Среднее квадратическое отклонение — корень из дисперсии, выражен в единицах самого признака.

Доклад: Договоримся о терминах. Каждое отдельное значение признака называют вариантой, отклонение — это разность между вариантой и средней. Важная деталь: сумма всех отклонений от средней всегда равна нулю, поэтому напрямую усреднять их бессмысленно. Отклонения возводят в квадрат — так получается дисперсия, а корень из неё возвращает нас к среднему квадратическому отклонению.

Слайд 5. Дисперсия генеральной совокупности

• σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N
• σ² — дисперсия генеральной совокупности
• xᵢ — значение признака у i-й единицы
• μ — генеральная средняя, рассчитанная по всем единицам
• N — число единиц во всей совокупности

Доклад: Формула генеральной дисперсии предельно прозрачна: берём каждое значение, вычитаем генеральную среднюю, возводим разность в квадрат, складываем все квадраты и делим на число единиц совокупности. Обозначается такая дисперсия греческой буквой сигма в квадрате. Эта формула применима, когда мы действительно обследовали всю совокупность целиком.

Слайд 6. Выборочная дисперсия и степени свободы

• s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
• s² — исправленная выборочная дисперсия
• x̄ — выборочная средняя, вычисленная по тем же данным
• n — объём выборки, число наблюдений
• n − 1 — число степеней свободы: одну степень забирает расчёт средней

Доклад: На практике сплошное наблюдение возможно редко, поэтому чаще считают выборочную дисперсию. Формула почти та же, но в знаменателе стоит не объём выборки, а число степеней свободы — n минус один. Одну степень свободы забирает сама выборочная средняя: зная её и n минус одно значение, последнее значение можно восстановить однозначно.

Слайд 7. Генеральная и выборочная дисперсия

• Формулы различаются одной деталью — знаменателем, и именно от него зависит, знаем мы параметр точно или только оцениваем его.
• Считается, когда обследованы все единицы совокупности
• Сумма квадратов делится на объём совокупности N
• Даёт точное значение параметра, а не его оценку
• Уместна при сплошном наблюдении: перепись, полный контроль партии
• Считается, когда изучена лишь часть совокупности
• Сумма квадратов делится на число степеней свободы n − 1
• Даёт несмещённую оценку неизвестной генеральной дисперсии
• Уместна в эксперименте, опросе, выборочном контроле качества

Доклад: Сравним две формулы напрямую. Генеральная дисперсия даёт точное значение параметра и уместна при переписи или полном контроле партии. Выборочная даёт лишь оценку, но оценку несмещённую — то есть в среднем по многим выборкам она попадает точно в истинное значение. Различие сводится к одному символу в знаменателе, а последствия у него принципиальные.

Слайд 8. Почему делят на n − 1

• Отклонения считают не от истинной средней, а от выборочной, поэтому сумма квадратов всегда получается заниженной.
• Деление на n даёт смещённую оценку: в среднем она составляет (n − 1) / n от истинной дисперсии.
• Поправка Бесселя — замена n на n − 1 — устраняет это смещение при любом объёме выборки.

Доклад: Разберёмся, откуда берётся поправка. Отклонения мы считаем не от истинной средней генеральной совокупности, которую не знаем, а от выборочной средней — а она подстроена под сами данные, поэтому сумма квадратов выходит минимальной и заниженной. График показывает масштаб проблемы: при выборке из двух наблюдений деление на n даёт лишь половину истинной дисперсии, при десяти — девяносто процентов, и только на сотне разница почти исчезает. Поправка Бесселя исправляет смещение при любом объёме.

Слайд 9. Числовой пример: пять измерений

• Пять измерений времени реакции, с: 10, 12, 14, 16, 18. Средняя равна 14 с.
• Сумма квадратов отклонений — 40; генеральная дисперсия 40 / 5 = 8, выборочная 40 / 4 = 10.
• Отклонения: σ = √8 ≈ 2,83 с и s = √10 ≈ 3,16 с — оценка по выборке всегда чуть больше.

Доклад: Пройдём расчёт руками. Пять измерений времени реакции: десять, двенадцать, четырнадцать, шестнадцать и восемнадцать секунд, их средняя равна четырнадцати. Отклонения составляют минус четыре, минус два, ноль, плюс два и плюс четыре, а сумма их квадратов — сорок. Делим на пять и получаем генеральную дисперсию восемь, делим на четыре — выборочную, равную десяти. Корни дают отклонения примерно две целых восемь десятых и три целых две десятых секунды.

Слайд 10. Вычислительная формула дисперсии

• σ² = (Σxᵢ² / N) − (x̄)²
• Σxᵢ² / N — средний квадрат значений признака
• (x̄)² — квадрат средней арифметической
• Для примера: 1020 / 5 = 204, а квадрат средней равен 196
• Разность 204 − 196 = 8 совпадает с прямым расчётом по отклонениям

Доклад: Считать отклонения по каждому наблюдению долго, поэтому на практике пользуются вычислительной формулой: дисперсия равна среднему квадрату значений минус квадрат средней. Проверим на том же примере: сумма квадратов равна тысяче двадцати, делим на пять — получаем двести четыре, квадрат средней равен ста девяноста шести, разность даёт ровно восемь. Результат совпал с прямым расчётом.

Слайд 11. От дисперсии к среднему квадратическому отклонению

• Дисперсия измеряется в квадратах единиц признака: секунды превращаются в квадратные секунды.
• Такой показатель неудобно сопоставлять с самими данными, поэтому из него извлекают корень.
• Именно поэтому в отчётах приводят σ, а дисперсию оставляют для расчётов и критериев.
• Дисперсия σ² — средний квадрат отклонений, единицы возведены в квадрат
• Квадратный корень — действие, возвращающее показатель к исходному масштабу
• Среднее квадратическое отклонение σ — разброс в тех же единицах, что и признак

Доклад: У дисперсии есть неудобное свойство: она измеряется в квадратах единиц признака. Если признак измерен в секундах, дисперсия выражена в квадратных секундах, и сопоставить её с исходными данными нельзя. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень и получают среднее квадратическое отклонение — тот же разброс, но уже в секундах. В отчётах приводят именно его, а дисперсию оставляют для расчётов и критериев.

Слайд 12. Свойства дисперсии

• Дисперсия постоянной величины равна нулю: если все значения одинаковы, разброса нет.
• Прибавление одного и того же числа ко всем значениям дисперсию не меняет.
• Умножение всех значений на k увеличивает дисперсию в k² раз, а отклонение — в |k| раз.
• Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий.
• Дисперсия никогда не бывает отрицательной: это среднее из квадратов.
• Дисперсия равна разности среднего квадрата значений и квадрата средней.

Доклад: Свойства дисперсии постоянно используются в расчётах. Дисперсия постоянной равна нулю, а сдвиг всех значений на одно и то же число её вообще не меняет — разброс от переноса не зависит. А вот умножение на коэффициент увеличивает дисперсию в квадрат раз, поэтому при смене единиц измерения показатель нужно пересчитывать. И самое рабочее свойство: дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий.

Слайд 13. Дисперсия альтернативного признака

• Альтернативный признак принимает всего два значения: единица, если свойство есть, и ноль, если его нет.
• Его дисперсия равна произведению долей: σ² = p · (1 − p), где p — доля единиц с признаком.
• При доле 0,2 дисперсия равна 0,16, отклонение — 0,4; наибольший разброс 0,25 достигается при p = 0,5.

Доклад: Особый случай — альтернативный признак, у которого всего два исхода: свойство есть или его нет. Его дисперсия считается совсем просто — как произведение доли на дополняющую её долю. График показывает главное следствие: разброс максимален при доле в половину и равен двадцати пяти сотым, а при редком или почти всеобщем признаке он мал. Именно поэтому размер выборки в социологии рассчитывают по самому неблагоприятному случаю.

Слайд 14. Три вида дисперсии при группировке

• Когда совокупность делят на группы, общий разброс распадается на две части.
• Первая часть связана с различиями между группами, вторая — с разбросом внутри них.
• Разложение показывает, насколько сильно признак группировки влияет на результат.
• На нём построены дисперсионный анализ и показатели тесноты связи.
• Общая дисперсия — весь разброс значений вокруг общей средней
• Межгрупповая дисперсия — различия групповых средних между собой
• Средняя внутригрупповая дисперсия — разброс внутри групп, не связанный с группировкой

Доклад: Если совокупность разбить на группы, общий разброс распадается на слои. Верхний слой — общая дисперсия, весь разброс вокруг общей средней. Средний — межгрупповая дисперсия, она измеряет, насколько различаются сами группы. Нижний — средняя внутригрупповая дисперсия, то есть разброс, оставшийся внутри групп и не объяснённый группировкой.

Слайд 15. Правило сложения дисперсий

• Общая дисперсия 11,67 складывается из средней внутригрупповой 2,67 и межгрупповой 9,00 — правило σ²общ = σ̄²вн + δ² выполняется точно.

Доклад: Проверим правило сложения на конкретных числах. Первая группа — два, четыре, шесть, вторая — восемь, десять, двенадцать. Дисперсия внутри каждой группы равна двум целым шестидесяти семи сотым, значит и средняя внутригрупповая такая же. Межгрупповая дисперсия равна девяти, а общая по всем шести значениям — одиннадцати целым шестидесяти семи сотым. Сумма двух частей даёт ровно общую дисперсию: правило выполняется точно.

Слайд 16. Эмпирический коэффициент детерминации

• Коэффициент детерминации показывает, какую часть общего разброса объясняет группировка.
• Считают его как отношение межгрупповой дисперсии к общей: η² = δ² / σ²общ.
• В нашем примере 9,00 / 11,67 = 0,771, то есть 77 % разброса объяснено делением на группы.
• Корень из этой величины — корреляционное отношение η ≈ 0,88 — оценивает тесноту связи.
• 77 % — доля разброса, объяснённая группировкой

Доклад: Отношение межгрупповой дисперсии к общей называют эмпирическим коэффициентом детерминации. В нашем примере девять делим на одиннадцать целых шестьдесят семь сотых и получаем семьдесят семь процентов — именно такая доля разброса объясняется делением на группы. Оставшиеся двадцать три процента приходятся на прочие причины. Корень из этой величины, около нуля целых восьмидесяти восьми сотых, оценивает тесноту связи между признаками.

Слайд 17. Дисперсия в дисперсионном анализе

• Дисперсионный анализ отвечает на вопрос, влияет ли фактор на результат.
• Метод сравнивает разброс между группами с разбросом внутри групп.
• Если различия между группами велики на фоне внутреннего разброса, влияние признаётся значимым.
• Общая изменчивость — считают сумму квадратов отклонений всех наблюдений
• Разложение — сумму делят на факторную и остаточную части
• Средние квадраты — каждую часть делят на своё число степеней свободы
• Критерий Фишера — находят отношение факторного среднего квадрата к остаточному
• Вывод — сравнивают значение с критическим при заданном уровне значимости

Доклад: На разложении дисперсии построен дисперсионный анализ. Сначала считают общую сумму квадратов отклонений, затем делят её на факторную и остаточную части, каждую соотносят со своим числом степеней свободы и получают средние квадраты. Их отношение — критерий Фишера. Если оно заметно превышает критическое значение, влияние фактора признают статистически значимым.

Слайд 18. Дисперсия выборочной средней

• σ²(x̄) = σ² / n, m = σ / √n
• σ²(x̄) — дисперсия выборочной средней, мера её колеблемости
• m — стандартная ошибка средней, корень из этой дисперсии
• При σ = 10 и n = 100 дисперсия средней равна 1, ошибка тоже равна 1
• Чтобы уменьшить ошибку вдвое, объём выборки нужно увеличить в четыре раза

Доклад: Дисперсия есть не только у отдельных значений, но и у самой выборочной средней. Она равна дисперсии признака, делённой на объём выборки, а корень из неё — это стандартная ошибка средней. Пример: при отклонении десять и выборке в сто человек ошибка средней равна единице. Обратите внимание на цену точности: чтобы уменьшить ошибку вдвое, выборку придётся увеличить вчетверо.

Слайд 19. Дисперсия и форма нормального распределения

• В нормальном законе дисперсия задаёт ширину колокола: чем она больше, тем ниже и шире кривая.
• При одной и той же средней распределения с дисперсией 0,2 и 5,0 выглядят совершенно по-разному.
• В интервал «средняя ± σ» попадает 68,3 % значений, «± 2σ» — 95,4 %, «± 3σ» — 99,7 %.

Доклад: На графике показаны кривые нормального распределения с разной дисперсией. Средняя у трёх из них одинакова, а вид совершенно разный: при дисперсии в две десятых кривая узкая и высокая, при дисперсии пять — низкая и растянутая. Именно дисперсия задаёт ширину колокола. Отсюда и знакомое правило: в интервал плюс-минус одно отклонение попадает около шестидесяти восьми процентов значений, в плюс-минус три — почти все, 99,7 процента.

Слайд 20. Наглядная модель разброса: доска Гальтона

• Шарики падают сквозь ряды штырьков и на каждом ряду случайно уходят влево или вправо.
• Столбики в лотках повторяют форму нормального распределения, а ширина горки — это и есть разброс.
• Чем больше рядов штырьков, тем больше дисперсия суммы случайных отклонений и шире картина.

Доклад: Разброс можно увидеть своими глазами на доске Гальтона. Шарик падает сквозь ряды штырьков и на каждом ряду случайно отклоняется влево или вправо, а внизу шарики скапливаются в лотках. Результат всегда один: получается колоколообразная горка, потому что суммируется множество независимых случайных отклонений. Ширина этой горки — наглядный образ дисперсии, и чем больше рядов штырьков, тем она заметнее.

Слайд 21. Учёные, стоявшие у истоков понятия

• Карл Фридрих Гаусс, 1777–1855, Разработал метод наименьших квадратов и закон нормального распределения ошибок
• Фридрих Вильгельм Бессель, 1784–1846, Его именем названа поправка n − 1 в формуле выборочной дисперсии
• Уильям Сили Госсет, 1876–1937, Под псевдонимом «Стьюдент» описал поведение выборочной дисперсии в малых выборках
• Рональд Эйлмер Фишер, 1890–1962, Ввёл сам термин «дисперсия» в 1918 году и создал дисперсионный анализ

Доклад: За привычными формулами стоят конкретные люди. Гаусс разработал метод наименьших квадратов и закон распределения ошибок измерений. Именем астронома Бесселя названа та самая поправка n минус один. Госсет, публиковавшийся под псевдонимом «Стьюдент», изучил поведение выборочной дисперсии в малых выборках, работая в пивоваренной компании. А Рональд Фишер в тысяча девятьсот восемнадцатом году ввёл сам термин «дисперсия» и создал дисперсионный анализ.

Слайд 22. Выводы

• Дисперсия — средний квадрат отклонений от средней; она измеряет тот разброс, который сама средняя скрывает.
• В генеральной совокупности сумму квадратов делят на N, в выборке — на n − 1: поправка Бесселя убирает смещение оценки.
• Корень из дисперсии — среднее квадратическое отклонение — возвращает показатель в единицы измерения признака.
• Правило сложения дисперсий разделяет влияние фактора и прочих причин и открывает дорогу к дисперсионному анализу.

Доклад: Подведём итоги. Дисперсия — это средний квадрат отклонений от средней, показатель того разброса, который сама средняя скрывает. В генеральной совокупности делим на её объём, в выборке — на n минус один, и поправка Бесселя убирает смещение оценки. Корень из дисперсии возвращает показатель в единицы измерения признака, а правило сложения дисперсий разделяет влияние фактора и прочих причин.

Слайд 23. Список литературы

• Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учебное пособие / В. Е. Гмурман. — Москва : Юрайт, 2019. — 479 с.
• Елисеева, И. И. Статистика : учебник / И. И. Елисеева. — Москва : Юрайт, 2020. — 361 с.
• Ефимова, М. Р. Общая теория статистики : учебник / М. Р. Ефимова. — Москва : ИНФРА-М, 2018. — 416 с.
• Кремер, Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. — Москва : Юнити-Дана, 2019. — 551 с.
• Наследов, А. Д. Математические методы психологического исследования : учебное пособие / А. Д. Наследов. — Санкт-Петербург : Речь, 2012. — 392 с.

Доклад: Материал подготовлен по классическим учебникам математической статистики и общей теории статистики: пособиям Гмурмана и Кремера по теории вероятностей, учебникам Елисеевой и Ефимовой по общей теории статистики, а также работе Наследова о математических методах в исследовании. В них можно найти подробные выводы формул, таблицы критических значений и разобранные примеры.

Слайд 24. Спасибо за внимание!

Доклад: На этом презентация завершена. Главное, что стоит запомнить: без оценки разброса любая средняя остаётся половиной ответа. Спасибо за внимание, готов ответить на ваши вопросы.